数列{an}满足：an+1=3an-3an2，n=1，2，3，…。（Ⅰ）若数列{an}为常数列，求a1的值；（Ⅱ）若a1=，求证：；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列{a2n}单调递减。-高中数学-魔方格

◎ 题干

数列{a_n}满足：a_n+1=3a_n-3a_n²，n=1，2，3，…。
（Ⅰ）若数列{a_n}为常数列，求a₁的值；
（Ⅱ）若a₁=，求证：；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列{a_2n}单调递减。

◎ 答案

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◎ 知识点

根据魔方格专家分析，试题“数列{an}满足：an+1=3an-3an2，n=1，2，3，…。（Ⅰ）若数列{an}为常数列，求a1的值；（Ⅱ）若a1=，求证：；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列{a2n}单调递减。…”主要考查了你对【常数数列】，【递增数列和递减数列】，【数学归纳法证明不等式】等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。

◎ 相似题

与“数列{an}满足：an+1=3an-3an2，n=1，2，3，…。（Ⅰ）若数列{an}为常数列，求a1的值；（Ⅱ）若a1=，求证：；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列{a2n}单调递减。”考查相似的试题有：

● 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足，且a1，a2，a7依次是等比数列{bn}的前三项．（1）求数列{an}及{bn}的通项公式；（2）是否存在常数a＞0且a≠1，使得数列是常数列？若 ● 已知函数（x≠-1，x∈R），数列{an}满足a1=a（a≠-1，x∈R），an+1=f（an）（n∈N*），（1）若数列{an}是常数列，求a的值；（2）当a1=4时，记bn=（n∈N*），证明数列{bn}是等比数列，并求。● 设Sn为数列{an}的前n项和（n=1，2，3，……）。按如下方式定义数列{an}：a1=m（m∈N*），对任意k∈N*，k＞1，设ak为满足0≤ak≤k-1的整数，且k整除Sk，（Ⅰ）当m=9时，试给出{an}的前6项；（● 已知An（an，bn）（n∈N*）是曲线y=ex上的点，a1=a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：，n=2，3，4，…（Ⅰ）证明数列是常数数列；（Ⅱ）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{an}是单调递增数 ● 下列叙述中正确的个数为①数列an=2是常数列；②数列是摆动数列；③数列是递增数列；④若数列{an}是递增数列，则数列{an·an+1}也是递增数列；[]A．1B．2C．3D．4