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题文
对于函数f(x)=
x-1
x+1
,设f1(x)=f(x),f2(x)=f[f1(x)]
,f3(x)=f[f2(x)],…,fn+1(x)=f[fn(x)],(n∈N*).
(1)写出f2(x),f3(x),f4(x),f5(x)的表达式;
(2)根据(I)的结论,请你猜想并写出f4n-1(x)的表达式;
(3)若x∈C,求方程f2010(x)=x的解集.
题型:解答题难度:中档来源:不详
答案
解(1)∵f(x)=1-
2
x+1
f2(x)=1-
2
f(x)+1
=1-
x+1
x
=-
1
x
f3(x)=
1+x
1-x

f4(x)=x,f5(x)=f(x)=
x-1
x+1

(2)根据(I)知:fn(x)是以4为周期;
f4n-1(x)=f3(x)=
1+x
1-x

(3)∵fn(x)是以4为周期,∴f2010(x)=f2(x)=-
1
x

∴-
1
x
=x,∴x2=-1,
∴原方程的解集为{i,-i}.
据魔方格专家权威分析,试题“对于函数f(x)=x-1x+1,设f1(x)=f(x),f2(x)=f[f1(x)],f3(x)=f[f..”主要考查你对  函数解析式的求解及其常用方法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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函数解析式的求解及其常用方法
考点名称:函数解析式的求解及其常用方法
  • 函数解析式的常用求解方法:

    (1)待定系数法:(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等):若已知f(x)的结构时,可设出含参数的表达式,再根据已知条件,列方程或方程组,从而求出待定的参数,求得f(x)的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法,它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
    (2)换元法(注意新元的取值范围):已知f(g(x))的表达式,欲求f(x),我们常设t=g(x),从而求得,然后代入f(g(x))的表达式,从而得到f(t)的表达式,即为f(x)的表达式。
    (3)配凑法(整体代换法):若已知f(g(x))的表达式,欲求f(x)的表达式,用换元法有困难时,(如g(x)不存在反函数)可把g(x)看成一个整体,把右边变为由g(x)组成的式子,再换元求出f(x)的式子。
    (4)消元法(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等):若已知以函数为元的方程形式,若能设法构造另一个方程,组成方程组,再解这个方程组,求出函数元,称这个方法为消元法。
    (5)赋值法(特殊值代入法):在求某些函数的表达式或求某些函数值时,有时把已知条件中的某些变量赋值,使问题简单明了,从而易于求出函数的表达式。

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