如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（0°＜θ＜90°），且sinθ=，点P到平面α的距离PH=0.4（km）-高中数学-魔方格

◎ 题干

如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（0°＜θ＜90°），且sinθ=，点P到平面α的距离PH=0.4（km）。沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用，从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为万元/km。当山坡上公路长度为lkm（1≤l≤2）时，其造价为（l²+1）a万元。已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5（km），OA=（km），
（Ⅰ）在AB上求一点D，使沿折线PDAD修建公路的总造价最小；
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小；
（Ⅲ）在AB上是否存在两个不同的点D′、E′，使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于（Ⅱ）中得到的最小总造价，证明你的结论。

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◎ 解析

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◎ 知识点

根据魔方格专家分析，试题“如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（0°＜θ＜90°），且sinθ=，点P到平面α的距离PH=0.4（km）…”主要考查了你对【二次函数的性质及应用】，【函数的最值与导数的关系】，【三垂线定理及其逆定理】等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。

◎ 相似题

与“如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（0°＜θ＜90°），且sinθ=，点P到平面α的距离PH=0.4（km）”考查相似的试题有：

● 如图，AO⊥平面α，点O为垂足，BC⊂平面α，BC⊥OB，若∠ABO=π4，∠COB=π6，则cos∠BAC=______．● 如图，已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB=∠PAC，求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．● PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是．A．PA⊥BCB．BC⊥平面PACC．AC⊥PBD．PC⊥BC ● 设α、β、γ是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列4个命题：①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β；③若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β；④若a、b在平面α内的射影互相 ● 如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b．AB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影分别是m和n．若a＞b，则（）A．θ＞φ，m＞nB．θ＞φ，m＜nC．θ＜φ，m＜nD．θ＜φ，m＞n