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题文
平面内与两定点A1(-a,0)、A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线。
(1)求曲线C的方程,并讨论C的形状与m值的关系;
(2)当m=-1时,对应的曲线为C1:对给定的m∈(-1, 0)∪(0,+∞),对应的曲线为C2。设F1、F2是C2的两个焦点。试问:在C1上,是否存在点N,使得△F1NF2的面积S=|m|a2。若存在,求tanF1NF2的值;若不存在,请说明理由。
题型:解答题难度:偏难来源:湖北省高考真题
答案
解:(1)设动点为M,其坐标为(x,y),
当x≠±a时,由条件可得
即mx2-y2=ma2(x≠±a),
又A1(-a,0)、A2(a,0)的坐标满足mx2-y2=ma2
故依题意,曲线C的方程为mx2-y2=ma2
当m<-1时,曲线C的方程为
C是焦点在y轴上的椭圆;
当m=-1时,曲线C的方程为x2+y2=a2,C是圆心在原点的圆;
当-1<m<0时,曲线C的方程为,C是焦点在x轴上的椭圆;
当m>0时,曲线C的方程为,C是焦点在x轴上的双曲线。
(2)由(1)知,当m=-1时,C1的方程为x2+y2=a2
当m∈(-1,0)∪(0,+∞)时,C2的两个焦点分别为
对于给定的m∈(-1,0)∪(0,+∞),C1上存在点N(x0,y0)(y0≠0)使得S=|m|a2的充要条件是

由①得0<|y0|≤a,由②得
,即
存在点N,使S=|m|a2
时,
不存在满足条件的点N。

,-y0
可得

则由
可得
从而
于是由S=|m|a2
可得,即
综上可得:当时,在C1上,存在点N,使得S=|m|·a2,且tanF1NF2=2;
时,在C1上,存在点N,使得S=|m|·a2,且tanF1NF2=-2;
时,在C1上,不存在满足条件的点N。
据魔方格专家权威分析,试题“平面内与两定点A1(-a,0)、A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于..”主要考查你对  曲线的方程面积定理:S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA椭圆的性质(顶点、范围、对称性、离心率)  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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曲线的方程面积定理:S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA椭圆的性质(顶点、范围、对称性、离心率)
考点名称:曲线的方程
  • 曲线的方程的定义:

    在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
    (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
    (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
    那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。

    求曲线的方程的步骤:

    (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
    (2)写出适合条件的p(M)的集合,P={M|p(M)};
    (3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
    (4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
    (5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

  • 求曲线的方程的步骤:

    (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
    (2)写出适合条件的p(M)的集合,P={M|p(M)};
    (3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
    (4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
    (5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

    求曲线方程的常用方法:

    (1)待定系数法这种方法需要预先知道曲线的方程,先设出来,然后根据条件列出方程(组)求解未知数。
    (2)直译法就是把动点所满足的题设条件直接给表示出来,从而得到其横、纵坐标之间的关系式。(3)定义法就是由曲线的定义直接得到曲线方程。
    (4)交轨法:就是在求两动曲线交点轨迹方程时,联立方程组消去参数,得到交点的轨迹方程。在求交点问题时常用此法。
    (5)参数法就是通过中间变量找到y、x的间接关系,然后通过消参得出其直接关系。
    (6)相关点法就是通过所求动点与已知动点的关系,来求曲线方程的方法。

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