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题文
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为e=
2
2
,左、右焦点分别为F1、F2,点P的坐标为(2,
3
),且F2在线段PF1的中垂线上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)如果圆E:(x-
1
2
2+y2=r2被椭圆C所覆盖,求圆的半径r的最大值.
题型:解答题难度:中档来源:不详
答案
(1)椭圆C的离心率e=
2
2
,得
c
a
=
2
2

其中c=
a2-b2
,椭圆C的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),又点F2在线段PF1的中垂线上,
∴|F1F2|=|PF2|,∴(2c)2=(
3
)2+(2-c)2

解得c=1,a2=2,b2=1,
∴椭圆C的方程为
x2
2
+y2=1

(2)设P(x0,y0)是椭圆C上任意一点,
x20
2
+
y20
=1
|PE|=
(
x0
-
1
2
)
2
+
y20
,∵
y20
=1-
x20
2

|PE|=
(
x0
-
1
2
)
2
+1-
x20
2
=
1
2
x20
-
x0
+
5
4
-
2
x0
2
).
当x0=1时,|PE|min=
1
2
-1+
5
4
=
3
2

∴半径r的最大值为
3
2
据魔方格专家权威分析,试题“已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e=22,左、右焦点分别为..”主要考查你对  直线与椭圆方程的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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直线与椭圆方程的应用
考点名称:直线与椭圆方程的应用
  • 直线与椭圆的方程:

    设直线l的方程为:Ax+By+C=0(A、B不同时为零),椭圆(a>b>0),将直线的方程代入椭圆的方程,消去y(或x)得到一元二次方程,进而应用根与系数的关系解题。

  • 椭圆的焦半径、焦点弦和通径:

    (1)焦半径公式:
    ①焦点在x轴上时:|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0
    ②焦点在y轴上时:|PF1|=a+ey0,|PF2|=a-ey0;
    (2)焦点弦:
    过椭圆焦点的弦称为椭圆的焦点弦.设过椭圆的弦为AB,其中A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=2a+e(x1+x2).由此可见,过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数.
    (3)通径:过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径,其长为 

    椭圆中焦点三角形的解法:

    椭圆上的点与两个焦点F1,F2所构成的三角形,通常称之为焦点三角形,解焦点三角形问题经常使用三角形边角关系定理,解题中,通过变形,使之出现,这样便于运用椭圆的定义,得到a,c的关系,打开解题思路,整体代换求是这类问题中的常用技巧。

  • 关于椭圆的几个重要结论:

    (1)弦长公式:

    (2)焦点三角形:
    上异于长轴端点的点,
    (3)以椭圆的焦半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
    (4)椭圆的切线:处的切线方程为


    (5)对于椭圆,我们有
     
     
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