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题文
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=2
2
,则AC1与面BDD1所成角的大小是______.
题型:填空题难度:中档来源:不详
答案
如图所示,
建立空间直角坐标系,由长方体可得,∴DD1⊥AC.
由底面ABCD为矩形,AB=BC=2,∴四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD,
而BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1B1
∴可取
AC
=(-2,2,0)
作为平面BDD1B1的法向量.
AC1
=(-2,2,2
2
)

设AC1与面BDD1所成角为θ.
sinθ=|cos<
AC1
AC
>|
=
|
AC1
AC
|
|
AC1
||
AC
|
=
8
4+4+8
8
=
2
2

由图形可知:θ为锐角,∴θ=
π
4

故答案为
π
4

据魔方格专家权威分析,试题“在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=22,则AC1与面BDD1所..”主要考查你对  用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
考点名称:用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
  • 异面直线所成角: 


    (其中为异面直线a,b所成角,分别表示异面直线a,b的方向向量)。

    直线AB与平面所成角:

    为平面α的法向量);

    二面角的平面角:

    为平面α,β的法向量)。

  • 用向量求异面直线所成角注意:

    ①求异面直线所成的角常用平移法或向量法,特别是向量法,由于降低了空间想象的要求,所以需引起我们的重视,用向量法时,需注意两异面直线夹角的范围是
    ②两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得,但二者不完全相等,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角.

    求直线与平面所成的角既可选择传统立体几何的综合推理法,也可选择空间向量的向量法:

    ①求直线和平面所成角的步骤:作出斜线与其射影所成的角;证明所作的角就是要求的角;常在直角三角形(垂线、斜线、射影所组成的直角三角形)中解出所求角的大小:
    ②在用向量法求直线OP与α所成的角时一般有两种途径:一是直接求其中OP′,为斜线OP在平面α内的射影;二是通过求进而转化求解,其中n为平面α的法向量。

    用向量求二面角注意:

    ①当法向量的方向分别指向二面角的内侧与外侧时,二面角θ的大小等于法向量的夹角的大小;
    ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时,二面角θ的大小等于法向量的夹角的补角的大小.

    求二面角,大致有两种基本方法:

    (1)传统立体几何的综合推理法:①定义法;②垂面法;③三垂线定理法;④射影面积法.
    (2)空间向量的坐标法:建系并确定点及向量的坐标,分别求出两个平面的法向量,通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小.

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