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题文
已知函数f(x)=ln(ex+1)+ax,(a<0)
(Ⅰ)若函数y=f(x)的导函数是奇函数,求a的值;
(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间。
题型:解答题难度:中档来源:河北省期末题
答案
解:(Ⅰ)f′(x)=+a,
由f′(-x)=-f′(x)可解得:a=
(Ⅱ)由已知,函数f(x)的定义域为R,
f′(x)=a+1-
(1)当a+1≤0,即a≤-1时,f′(x)<0恒成立,
∴a≤-1时,f(x)在R上为减函数;
(2)当a+1>0,即-1<a<0时,由f′(x)<0得:x<ln
由f′(x)>0得:x>ln
∴-1<a<0时,f(x)在(-∞,ln)上为减函数,在(ln,+∞)上为增函数;
综上可知a≤-1时,f(x)在R上为减函数;-1<a<0时,f(x)的单调减区间为(-∞,ln),单调增区间为(ln,+∞)。
据魔方格专家权威分析,试题“已知函数f(x)=ln(ex+1)+ax,(a<0)(Ⅰ)若函数y=f(x)的导函数是奇函..”主要考查你对  函数的单调性与导数的关系函数的奇偶性、周期性导数的运算  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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函数的单调性与导数的关系函数的奇偶性、周期性导数的运算
考点名称:函数的单调性与导数的关系
  • 导数和函数的单调性的关系:

    (1)若f′(x)>0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数,f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;
    (2)若f′(x)<0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是减函数,f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。

  • 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤:

    ①确定f(x)的定义域;
    ②计算导数f′(x);
    ③求出f′(x)=0的根;
    ④用f′(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内f′(x)的符号,进而确定f(x)的单调区间:f′(x)>0,则f(x)在对应区间上是增函数,对应区间为增区间;f′(x)<0,则f(x)在对应区间上是减函数,对应区间为减区间。

    函数的导数和函数的单调性关系特别提醒:

    若在某区间上有有限个点使f′(x)=0,在其余的点恒有f′(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).即在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件。 

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