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数学归纳法
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试题详情
◎ 题干
对于数列{A
n
}:A
1
,A
2
,A
3
,…,A
n
,若不改变A
1
,仅改变A
2
,A
3
,…,A
n
中部分项的符号,得到的新数列{a
n
}称为数列{A
n
}的一个生成数列.如仅改变数列1,2,3,4,5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1,-2,-3,4,5.已知数列{a
n
}为数列
{
1
2
n
}(n∈
N
*
)
的生成数列,S
n
为数列{a
n
}的前n项和.
(1)写出S
3
的所有可能值;
(2)若生成数列{a
n
}的通项公式为
a
n
=
1
2
n
,n=3k+1
-
1
2
n
,n≠3k+1
,k∈N
,求S
n
;
(3)用数学归纳法证明:对于给定的n∈N
*
,S
n
的所有可能值组成的集合为:
{x|x=
2m-1
2
n
,m∈
N
*
,m≤
2
n-1
}
.
◎ 答案
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◎ 解析
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◎ 知识点
根据魔方格专家分析,试题“对于数列{An}:A1,A2,A3,…,An,若不改变A1,仅改变A2,A3,…,An中部分项的符号,得到的新数列{an}称为数列{An}的一个生成数列.如仅改变数列1,2,3,4,5的第二、三项的…”主要考查了你对
【数学归纳法】
等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”,你可以点击相应的链接进行查看和学习。
◎ 相似题
与“对于数列{An}:A1,A2,A3,…,An,若不改变A1,仅改变A2,A3,…,An中部分项的符号,得到的新数列{an}称为数列{An}的一个生成数列.如仅改变数列1,2,3,4,5的第二、三项的”考查相似的试题有:
● 若不等式1n+1+1n+2+…+13n+1>a24对一切正整数n都成立,(1)猜想正整数a的最大值,(2)并用数学归纳法证明你的猜想.
● 数列{an}的前n项和Sn与an满足:Sn=1-nan(n∈N*),求{an}的通项公式.(注意:本题用数学归纳法做,其它方法不给分)
● (1)用反证法证明:如果x>12,那么x2+2x-1≠0;(2)用数学归纳法证明:11×3+13×5+…+1(2n-1)×(2n+1)=n2n+1(n∈N*).
● 设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=12,2Sn=SnSn-1+1(n≥2),求:(1)S1,S2,S3;(2)猜想数列{Sn}的通项公式,并用数学归纳法证明.
● 数列{an}的通项an=(-1)n+1•n2,观察以下规律:a1=1a1+a2=1-4=-3=-(1+2)a1+a2+a3=1-4+9=6=1+2+3…试写出求数列{an}的前n项和Sn的公式,并用数学归纳法证明.