设n是自然数，fn（x）=xn+1-x-n-1x-x-1（x≠0，±1），令y=x+1x．（1）求证：fn+1（x）=yfn（x）-fn-1（x），（n＞1）（2）用数学归纳法证明：fn（x）=yn-C1n-1yn-2+…+(-1)iCin-iyn-2i+…+(-1)n2，(i=-高中数学-魔方格

◎ 题干

设n是自然数，f_n（x）=

xn+1-x-n-1

x-x-1

（x≠0，±1），令y=x+

．
（1）求证：f_n+1（x）=yf_n（x）-f_n-1（x），（n＞1）
（2）用数学归纳法证明：
f_n（x）=

yn-

1n-1

yn-2+…+(-1)i

in-i

yn-2i+…+(-1)

，(i=1，2，…，

，n我偶数)

yn-

1n-1

yn-2+…+(-1)i

in-i

+…+(-1)

n-1

n+1

y，(i=1，2，…，

n-1

，n为奇数)

．

◎ 答案

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◎ 解析

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◎ 知识点

根据魔方格专家分析，试题“设n是自然数，fn（x）=xn+1-x-n-1x-x-1（x≠0，±1），令y=x+1x．（1）求证：fn+1（x）=yfn（x）-fn-1（x），（n＞1）（2）用数学归纳法证明：fn（x）=yn-C1n-1yn-2+…+(-1)iCin-iyn-2i+…+(-1)n2，(i=…”主要考查了你对【数学归纳法】等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。

◎ 相似题

与“设n是自然数，fn（x）=xn+1-x-n-1x-x-1（x≠0，±1），令y=x+1x．（1）求证：fn+1（x）=yfn（x）-fn-1（x），（n＞1）（2）用数学归纳法证明：fn（x）=yn-C1n-1yn-2+…+(-1)iCin-iyn-2i+…+(-1)n2，(i=”考查相似的试题有：

● 若不等式1n+1+1n+2+…+13n+1＞a24对一切正整数n都成立，（1）猜想正整数a的最大值，（2）并用数学归纳法证明你的猜想．● 数列{an}的前n项和Sn与an满足：Sn=1-nan（n∈N*），求{an}的通项公式．（注意：本题用数学归纳法做，其它方法不给分）● （1）用反证法证明：如果x＞12，那么x2+2x-1≠0；（2）用数学归纳法证明：11×3+13×5+…+1(2n-1)×(2n+1)=n2n+1(n∈N*)．● 设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=12，2Sn=SnSn-1+1（n≥2），求：（1）S1，S2，S3；（2）猜想数列{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．● 数列{an}的通项an=（-1）n+1•n2，观察以下规律：a1=1a1+a2=1-4=-3=-（1+2）a1+a2+a3=1-4+9=6=1+2+3…试写出求数列{an}的前n项和Sn的公式，并用数学归纳法证明．