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题文
在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为A(-
7
7
,0)
B(
7
7
,0)
,两动点M,N满足
MA
+
MB
+
MC
=
0
,|
NC
|=
7
|
NA
|=
7
|
NB
|,向量
MN
AB
共线.
(1)求△ABC的顶点C的轨迹方程;
(2)若过点P(0,1)的直线与(1)轨迹相交于E,F两点,求
PE
PF
的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详
答案
(1)设(x,y),
MA
+
MB
+
MC
=0,
∴M(
x
3
y
3
).
又|
NA
|=|
NB
|且向量
MN
AB
共线,
∴N在边AB的中垂线上,
∴N(0,
y
3
).
而|
NC
|=
7
|
NA
|,
∴x2-
y2
3
=1(y≠0).------(6分)
(2)设E(x1,y1),F(x2,y2),
过点P(0,1)的直线方程为y=kx+1,
代入x2-
y2
3
=1
得 (3-k2)x2-2kx-4=0(x≠±1)
∴△=4k2+16(3-k2)>0,
k2<4k∈(-2,2)(k≠±
3
,±1)
.------------------------------(4分)
而x1,x2是方程的两根,
∴x1+x2=
2k
3-k2
,x1x2=
-4
3-k2

PE
PF
=(x1,y1-1)•(x2,y2-1)
=x1x2+kx1•kx2
=
-4(1+k2)
3-k2
--------(2分)
PE
PF
=4(1+
4
k2-3
) ∈(-∞,-4)∪(-4,-
4
3
]∪(20,+∞)

PE
PF
的取值范围为(-∞,-4)∪(-4,-
4
3
]∪(20,+∞)
---------------(4分)
据魔方格专家权威分析,试题“在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为A(-77,0),B..”主要考查你对  向量数量积的运算动点的轨迹方程圆锥曲线综合  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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向量数量积的运算动点的轨迹方程圆锥曲线综合
考点名称:向量数量积的运算
  • 两个向量数量积的含义:

    如果两个非零向量,它们的夹角为,我们把数量叫做的数量积(或内积或点积),记作:,即
    上的投影。
    规定:零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。

  • 数量积的的运算律:

    已知向量和实数λ,下面(1)(2)(3)分别叫做交换律,数乘结合律,分配律。
    (1)
    (2)
    (3)

  • 向量数量积的性质:

    设两个非零向量
    (1)
    (2)
    (3)
    (4)
    (5)当同向时,;当反向时,;当为锐角时,为正且不同向,;当为钝角时,为负且不反向,

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