如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn）是曲线C：y2=3x（y≥0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐标-高中数学-魔方格

◎ 题干

如图，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）、…、P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜…＜y_n）是曲线C：y²=3x（y≥0）上的n个点，点A_i（a_i，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A₀是坐标原点）．
（1）写出a₁，a₂，a₃；
（2）求出点A_n（a_n，0）（n∈N^*）的横坐标a_n关于n的表达式；
（3）设bn=

an+1

an+2

an+3

+…+

a2n

，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+

＞bn恒成立，求实数t的取值范围．

◎ 答案

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◎ 解析

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◎ 知识点

根据魔方格专家分析，试题“如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn）是曲线C：y2=3x（y≥0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐标…”主要考查了你对【数学归纳法】等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。

◎ 相似题

与“如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn）是曲线C：y2=3x（y≥0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐标”考查相似的试题有：

● 若不等式1n+1+1n+2+…+13n+1＞a24对一切正整数n都成立，（1）猜想正整数a的最大值，（2）并用数学归纳法证明你的猜想．● 数列{an}的前n项和Sn与an满足：Sn=1-nan（n∈N*），求{an}的通项公式．（注意：本题用数学归纳法做，其它方法不给分）● （1）用反证法证明：如果x＞12，那么x2+2x-1≠0；（2）用数学归纳法证明：11×3+13×5+…+1(2n-1)×(2n+1)=n2n+1(n∈N*)．● 设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=12，2Sn=SnSn-1+1（n≥2），求：（1）S1，S2，S3；（2）猜想数列{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．● 数列{an}的通项an=（-1）n+1•n2，观察以下规律：a1=1a1+a2=1-4=-3=-（1+2）a1+a2+a3=1-4+9=6=1+2+3…试写出求数列{an}的前n项和Sn的公式，并用数学归纳法证明．