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数学归纳法
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试题详情
◎ 题干
已知f(n)=1
+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
(n
∈N
+
)
.
经计算得f(2)=
3
2
,f(4)>2,f(8)
>
5
2
,f(16)>3,f(32)
>
7
2
…
,通过观察,我们可以得到一个一般性的结论.
(1)试写出这个一般性的结论;
(2)请证明这个一般性的结论;
(3)对任一给定的正整数a,试问是否存在正整数m,使得1
+
1
2
+
1
3
+…+
1
m
>a
?若存在,请给出符合条件的正整数m的一个值;若不存在,请说明理由.
◎ 答案
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◎ 解析
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◎ 知识点
根据魔方格专家分析,试题“已知f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N+).经计算得f(2)=32,f(4)>2,f(8)>52,f(16)>3,f(32)>72…,通过观察,我们可以得到一个一般性的结论.(1)试写出这个一般性的结论;(2)请证明这个…”主要考查了你对
【数学归纳法】
等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”,你可以点击相应的链接进行查看和学习。
◎ 相似题
与“已知f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N+).经计算得f(2)=32,f(4)>2,f(8)>52,f(16)>3,f(32)>72…,通过观察,我们可以得到一个一般性的结论.(1)试写出这个一般性的结论;(2)请证明这个”考查相似的试题有:
● 若不等式1n+1+1n+2+…+13n+1>a24对一切正整数n都成立,(1)猜想正整数a的最大值,(2)并用数学归纳法证明你的猜想.
● 数列{an}的前n项和Sn与an满足:Sn=1-nan(n∈N*),求{an}的通项公式.(注意:本题用数学归纳法做,其它方法不给分)
● (1)用反证法证明:如果x>12,那么x2+2x-1≠0;(2)用数学归纳法证明:11×3+13×5+…+1(2n-1)×(2n+1)=n2n+1(n∈N*).
● 设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=12,2Sn=SnSn-1+1(n≥2),求:(1)S1,S2,S3;(2)猜想数列{Sn}的通项公式,并用数学归纳法证明.
● 数列{an}的通项an=(-1)n+1•n2,观察以下规律:a1=1a1+a2=1-4=-3=-(1+2)a1+a2+a3=1-4+9=6=1+2+3…试写出求数列{an}的前n项和Sn的公式,并用数学归纳法证明.